대답 1:

1.

Forasimpleharmonicwaveoftheformϕ=ei(kxωt),wheresymbol[math]k=2πλ[/math]isthewavenumber,[math]λ[/math]isthewavelength,[math]x[/math]isthepositioncoordinate,[math]ω=2πν[/math]istheangularfrequency,[math]ν[/math]isthefrequency,and[math]t[/math]isthetime.Considertwocases,namely,For a simple harmonic wave of the form \phi = e^{i(kx-\omega t)}, where symbol [math]k = 2\pi\lambda[/math] is the wavenumber, [math]\lambda[/math] is the wavelength, [math]x[/math] is the position coordinate, [math]\omega = 2\pi\nu[/math] is the angular frequency, [math]\nu[/math] is the frequency, and [math]t[/math] is the time. Consider two cases, namely,

(ㅏ)

Asingleplanewave,withphase(kxωt)=constant:A single plane wave, with phase (k x - \omega t) = constant:

이 경우 파도의 지점은

x=ωtk+constantkx = \frac {\omega t}{k} + \frac {constant}{k}

이 파는 위상 속도라고 불리는 일정한 속도로 x 축을 따라 움직입니다.

vph=dxdt=ωkv_{ph} = \frac {dx}{dt} = \frac {\omega}{k}

(b) 평면파 그룹 (웨이브 패킷) :

Ψ(x,t)=+a(k)ϕ(x,t,k)+a(k)ei(kxωt)dk\Psi (x,t)= \sum_{-\infty}^{+\infty} a(k)\phi (x, t, k) \approx \int _{-\infty}^{+\infty} a(k) e^{i(kx-\omega t)}dk

=0a(k)ei(kxωt)dk+0+a(k)ei(kxωt)dk = \int_{-\infty}^{0} a(k) e^{i(kx-\omega t)}dk + \int_{0}^{+\infty} a(k) e^{i(kx-\omega t)}dk

=0+a(k)ei(kxωt)dk+0+a(k)ei(kxωt)dk = \int_{0}^{+\infty} a(-k) e^{i(-kx-\omega t)}dk + \int_{0}^{+\infty} a(k) e^{i(kx-\omega t)}dk

wherethelatterexpressionforΨ(x,t)occursonlywhenthefunctionalrelationbetween[math]ω[/math]and[math]k[/math]islinear,andthephasevelocityofthetwopartsofthewavegrouptravelinthe[math]x[/math]and+[math]x[/math]directionswiththesamespeedandwithoutchangingshape.Thisisthecaseforundispersedwavemotion,suchasthepropagationoflightinavacuumandforastringstretchedbetweentwoendpoints.where the latter expression for \Psi (x, t) occurs only when the functional relation between [math]\omega[/math] and [math]k[/math] is linear, and the phase velocity of the two parts of the wave group travel in the –[math]x[/math] and +[math]x[/math] directions with the same speed and without changing shape. This is the case for undispersed wave motion, such as the propagation of light in a vacuum and for a string stretched between two endpoints.

2.

Forthecaseofdispersedwavemotion(waterwavesandlightpropagationinanopticalmedium),thereisadifferenceinphaseoftheindividualϕ(x,t,k);thefunctionalrelationbetween[math]ω[/math]and[math]k[/math]isnonlinear.Hence,thewavepacketchangesshapeandcannolongerbecharacterizedbythephasevelocity[math]v=ωk[/math].Instead,valuesof[math]a(k)[/math]areassumedsignificantonlywhen[math]k[/math]iswithinasmallinterval[math]Δk[/math],implyingFor the case of dispersed wave motion (water waves and light propagation in an optical medium), there is a difference in phase of the individual \phi (x, t, k); the functional relation between [math]\omega[/math] and [math]k[/math] is nonlinear. Hence, the wave packet changes shape and can no longer be characterized by the phase velocity [math]v = \frac {\omega}{k}[/math]. Instead, values of [math]a(k)[/math] are assumed significant only when [math]k[/math] is within a small interval [math]\Delta k [/math], implying

x=ωtk+constantkx = \frac {\omega t}{k} + \frac {constant}{k}

Taylor의 확장을 사용하여

ω=ω(k0)+(dωdk)k0+\omega = \omega (k_{0}) + (\frac {d\omega}{dk})_{k_{0}} + …

확장에서 1 차로

Ψ(x,t)=ei(kxωt)Δka(k)ei(xdωdkt)(kk0)dk\Psi (x, t) = e^{i(kx-\omega t)} \int_{\Delta k} a(k) e^{i(x-\frac{d\omega}{dk}t)(k-k_{0})}dk

whereω0ω(k0).Thetermoutsidetheintegralrepresentswavemotionwithaconstantphase,implying[math](k0xω0t)[/math]=constant,so[math]ei(k0xω0t)[/math]=constant.Since[math]Ψ[/math]isafunctionof[math]x[/math]and[math]t[/math],then[math]x[/math]and[math]t[/math]variationontherighthandsideoftheaboveequationcanonlycomefromtheexponentialundertheaboveintegral.Unitsimply[math]dωdk[/math]isavelocity,whichisinterpretedasthevelocityofthewavepacket,andcalledthegroupvelocity[math]vg[/math],givenbywhere \omega_{0} \equiv \omega (k_{0}). The term outside the integral represents wave motion with a constant phase, implying [math](k_{0} x - \omega_{0} t) [/math]= constant, so [math] e^{i (k_{0}x–\omega_{0}t)}[/math] = constant. Since [math]\Psi[/math] is a function of [math]x[/math] and [math]t[/math], then [math]x[/math] and [math]t[/math] variation on the right-hand side of the above equation can only come from the exponential under the above integral. Units imply[math]\frac {d\omega}{dk}[/math]is a velocity, which is interpreted as the velocity of the wave packet, and called the group velocity [math]v_{g}[/math], given by

vg=dωdkv_{g} = \frac {d\omega}{dk}

Louis de Broglie (1924)의 논문에서, 그는 패킷의 그룹 속도를 질량 점의 속도와 동일하게 설정함으로써 파동 패킷의 국소화 된 모션을 입자 모션과 연관시켰다. 이 과정은 입자의 파장과 선형 운동량과 관련하여 그의 유명한 방정식을 이끌어 냈습니다.

λ=hp\lambda = \frac{h}{p}


대답 2:

실제 물리에서는 차이가 없습니다. 우리는 우리가 "입자"라고 생각한 광자, 전자 및 다른 모든 아 원자 입자도 실제로는 파도와 유사한 특성을 나타냄을 발견했습니다. 추가 조사에서 우리의 고전적인 "입자"개념에 결함이 있으며 실제로 물리적 우주에는 아무것도 없다는 것이 밝혀졌습니다. 그 대신 물질과 에너지는 웨이브 패킷에 존재합니다. 고전적인 입자와 고전파의 거동을 모두 갖는 양자 단위.

이러한 것들을 설명하기 위해 전체 수학이 필요하지 않고 개념적 수준 에서이 문제로 어려움을 겪고있는 것 같습니다. 따라서 개념적으로 웨이브 패킷은 입자와 파도의 모든 특성을 동시에 갖는 고정 에너지를 가진 단위라고 생각하면됩니다.


대답 3:

파동 및 파동 패킷은 광자 및 전자와 같은 간단한 입자의 거동을 예측하는 데 매우 유용한 수학적 개념입니다. 이러한 입자와 마찬가지로 파도가 한 장소에서 다른 장소로 전파 될 수 있습니다. 그리고 두 개의 파동은 국소 영역에서 서로 상쇄되어 전자 빔이나 빛이 한 쌍의 슬릿을 통과 할 때 관찰되는 것과 일치합니다.

가장 간단한 수학적 설명을 가진 파는 단일 파장과 주파수를 가지며 모든 공간에 걸쳐 펼쳐지는 평면파입니다. 분명히 실제 실험에는 더 한정된 입자가 포함됩니다. 웨이브 패킷은 예를 들어 레이저로부터의 펄스에 대응하여 더욱 국한된 것이다. 약간 다른 파장과 방향의 평면파를 결합하여 원하는 모양으로 현지화 된 패킷을 형성 할 수 있습니다.

웨이브 패킷이 제한된 모양을 유지하고 공간을 통해 이동할 수 있지만 입자가되지는 않습니다. 입자를 나타내는 파동에는 추가적인 특성이 있습니다. 양자화됩니다. 웨이브의 양을 계산하면 (수학적으로 모든 공간에 웨이브의 '표준'을 통합), 얻는 답은 0, 1 또는 2입니다. 이것은 당신이 할 수 없다는 사실을 반영합니다 전자 또는 광자의 절반이 있습니다. 그 사실은 그 것들을 입자로 만드는 것입니다.